M. Karam Ouharou

Cette feuille propose une analyse détaillée des propriétés des matrices stochastiques et de la formule du rayon spectral. J'ai commencé par établissement des lemmes essentiels, démontrant d'abord que pour toute norme subordonnée, le rayon spectral ρ(A) d'une matrice A est toujours inférieur ou égal à ∥A∥. J'ai poursuit avec une preuve plus complexe démontrant l'existence d'une norme subordonnée pour laquelle cette inégalité se resserre à ρ(A) + ε. Le document présente ensuite le Théorème 1, qui affirme que ρ(A) = lim ∥A n ∥ 1/n pour toute norme subordonnée, consolidant cette équivalence par une série de démonstrations mathématiques rigoureuses. La preuve utilise des propriétés des valeurs propres et des vecteurs propres de la matrice, ainsi que des techniques de trigonalisation et des normes de Householder. Le document conclut que cette propriété est indépendante de la norme matricielle choisie, généralisant ainsi le résultat à toutes les normes subordonnées. Li...

An alternative characterization is that the tangent space of a hypersurface contains a nonzero vector such that the metric applied to such a vector and any vector in the tangent space is zero. Another way of saying this is that the pullback of the metric onto the tangent space is degenerate. For a Lorentzian metric, all the vectors in such a tangent space are space-like except in one direction, in which they are null. Physically , there is exactly one lightlike worldline contained in a null hypersurface through each point that corresponds to the worldline of a particle moving at the speed of light, and no contained worldlines that are time-like. Example of null hypersurfaces include a light cone, a Killing horizon, and the event horizon of a black hole. © Karam OUHAROU. The author grants permission to copy, distribute and display this work in unaltered form, with attribution to the author, for noncommercial purposes only. All other rights, including commercial rights...