M. Karam Ouharou

Cette feuille propose une analyse détaillée des propriétés des matrices stochastiques et de la formule du rayon spectral. J'ai commencé par établissement des lemmes essentiels, démontrant d'abord que pour toute norme subordonnée, le rayon spectral ρ(A) d'une matrice A est toujours inférieur ou égal à ∥A∥. J'ai poursuit avec une preuve plus complexe démontrant l'existence d'une norme subordonnée pour laquelle cette inégalité se resserre à ρ(A) + ε. Le document présente ensuite le Théorème 1, qui affirme que ρ(A) = lim ∥A n ∥ 1/n pour toute norme subordonnée, consolidant cette équivalence par une série de démonstrations mathématiques rigoureuses. La preuve utilise des propriétés des valeurs propres et des vecteurs propres de la matrice, ainsi que des techniques de trigonalisation et des normes de Householder. Le document conclut que cette propriété est indépendante de la norme matricielle choisie, généralisant ainsi le résultat à toutes les normes subordonnées. Li...

Frame fields always correspond to a family of ideal observers immersed in the given spacetime; the integral curves of the timelike unit vector field are the worldlines of these observers, and at each event along a given worldline, the three spacelike unit vector fields specify the spatial triad carried by the observer. The triad may be thought of as defining the spatial coordinate axes of a local laboratory frame , which is valid very near the observer's worldline. In general, the worldlines of these observers need not be timelike geodesics. If any of the worldlines bends away from a geodesic path in some region, we can think of the observers as test particles that accelerate by using ideal rocket engines with a thrust equal to the magnitude of their acceleration vector. Alternatively, if our observer is attached to a bit of matter in a ball of fluid in hydrostatic equilibrium, this bit of matter will in general be accelerated outward by the net effect of pressure holding up the ...