La fonction êta de Dirichlet

November 22, 2020

La fonction êta de Dirichlet | Math. Fonction

La fonction êta de Dirichlet est une fonction utilisée dans la théorie analytique des nombres. Elle peut être définie par

\eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)

où $ζ$ est la fonction zêta de Reimann . Néanmoins, elle peut aussi être utilisée pour définir la fonction zêta sauf aux zéros du facteur $1-2 1- s$ . Elle possède une expression en série de Dirichlet valide pour tout nombre complexe $s$ avec une partie réelle positive, donnée par

\eta (s)=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{(-1)^{{n-1}} \over n^{s}}

, d'où son nom parfois donné de fonction zêta alternée.

Tandis que ceci est convergent seulement pour $s$ avec une partie réelle positive, elle est sommable au sens d'Abel pour tout nombre complexe, qui servent à définir la fonction êta comme une fonction entière, et montre que la fonction zêta est méromorphe avec un pôle singulier en $s = 1$ , et peut-être aussi des pôles aux autres zéros du facteur $1-2 1- s$ .

De manière équivalente, nous pouvons commencer par définir

\eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}~\mathrm {d} x

qui est aussi définie dans la région de la partie réelle positive. Ceci présente la fonction êta comme une transformation de Mellin .

Hardy a donné une démonstration simple de l'équation fonctionnelle pour la fonction êta, qui est

\eta (-s)=2{\frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1)

Cette équation fonctionnelle se déduit immédiatement de celle de la fonction zêta, mais elle est plus complexe car la fonction êta n'est pas une Série L de Dirichlet (elle n'est pas déduite d'un Caractère de Dirichlet).

Méthode de Borwein

Peter Borwein a utilisé des approximations impliquant les polynômes de Tchebychev pour concevoir une méthode pour une évaluation efficace de la fonction êta.

Pour un entier $n$ , si $d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!\,4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}$ , alors