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la dimension homologique d'un anneau R diffère en général de sa dimension de Krull et se définit à partir des résolutions projectives ou injectives des R-modules ; On définit également la dimension faible à partir des résolutions plates des R-modules , La dimension de Krull (resp. homologique, faible) de R peut être vue comme une mesure de l'éloignement de cet anneau par rapport à la classe des anneaux artiniens ( resp. semi-simples, de von Neumann réguliers (en) ), cette dimension étant nulle si, et seulement si R est artinien (resp. semi-simple, de von Neumann régulier). Dans le cas d'un anneau commutatif noethérien R, ces trois dimensions coïncident si R est régulier, en particulier si sa dimension homologique est finie.

- Théréan Solvatique

Soit $M$ un R-module. La suite exacte $\longrightarrow ...\longrightarrow E_{n}\longrightarrow ...\longrightarrow E_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$ est appelée une résolution gauche de $M$ . Si pour tout $i$ , le module $E_{i}$ est projectif (resp. plat, libre), cette résolution est dite projective (resp. plate, libre). Si $E_{n}\neq 0$ et $E_{i}=0$ pour tout $i>n$ , cette résolution est dite de longueur $n$ . S'il n'existe pas de tel entier $n$ , cette résolution est dite de longueur infinie.
La suite exacte $\longleftarrow ...\longleftarrow E^{n}\longleftarrow ...\longleftarrow E^{0}\longleftarrow M\longleftarrow 0$ est appelée une résolution droite de $M$ . Si pour tout $i$ , le module $E^{n}$ est injectif, cette résolution est dite injective. On définit comme plus haut la longueur d'une résolution injective.
Tout R-module $M$ admet des résolutions libres, et donc des résolutions projectives et plates. Tout R-module $M$ admet également des résolutions injectives.

- Dimensions d'un module

Dans ce qui suit, ${\overline {\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}$ et l'on prend pour convention que pour tout $n\in \mathbb {Z}$ , $-\infty <n<+\infty$ , $-\infty +n=-\infty$ et $+\infty +n=+\infty$ .
Soit $M$ un R-module à gauche. Sa dimension projective (resp. injective, plate), notée $dp_{R}\left(M\right)$ (resp. $di_{R}\left(M\right),df_{R}\left(M\right)$ ) est la borne inférieure dans ${\overline {\mathbb {Z} }}$ des longueurs des résolutions projectives (resp. injectives, plates) de $M$ .
On a $dp_{R}\left(0\right)=di_{R}\left(0\right)=df_{R}\left(0\right)=-\infty$ .
Pour que $M$ soit projectif (resp. injectif, plat) il faut et il suffit que $dp_{R}\left(M\right)\leq 0$ (resp. $di_{R}\left(M\right)\leq 0,df_{R}\left(M\right)\leq 0$ ).

- Dimensions d'un anneau

Nous ne revenons pas ici sur la dimension de Krull.

- Dimension homologique

Soit $_{R}Mod$ la catégorie des R-modules à gauche. Les quantités suivantes sont égales :

$\sup \left\{dp_{R}\left(M\right):M\in _{R}Mod\right\}$
$\sup \left\{di_{R}\left(M\right):M\in _{R}Mod\right\}$

Leur valeur commune est appelée la dimension globale à gauche de R et est notée dans ce qui suit $dgg(R)$ . Cette quantité est la borne supérieure dans ${\overline {\mathbb {Z} }}$ des quantités $n$ pour lesquelles il existe deux R-modules à gauche $M$ et $N$ tels que $Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0$ (voir l'article Foncteur dérivé).

On définit de même la dimension globale à droite de R, notée dans ce qui suit $dgd(R)$ .

Lorsque $dgg(R)$ = $dgd(R)$ (c'est évidemment le cas lorsque R est commutatif), leur valeur commune est appelée la dimension globale de R et est notée $dg(R)$ .
La notion de dimension globale s'étend au cas d'une catégorie abélienne quelconque ${\mathfrak {C}}$ de sorte que, si ${\mathfrak {C=}}_{R}Mod$ (resp. ${\mathfrak {C=}}Mod_{R}$ ), cette dimension $dg\left({\mathfrak {C}}\right)$ coïncide avec la quantité $dgg(R)$ (resp. $dgd(R)$ ) définie plus haut.

- Dimension faible

Les quantités suivantes sont égales :

$\sup \left\{df_{R}\left(M\right):M\in _{R}Mod\right\},$
$\sup \left\{df_{R}\left(M\right):M\in Mod_{R}\right\}.$

Leur valeur commune est appelée la dimension globale faible de R, notée $dgf(R)$ dans ce qui suit. Cette quantité est la borne supérieure dans ${\overline {\mathbb {Z} }}$ des quantités $n$ pour lesquelles il existe un R-module à droite $M$ et un module à gauche $N$ tels que $Tor_{n}^{R}\left(M,N\right)\neq 0$ (voir l'article Foncteur dérivé).

- Les Propriétés

On a $dg(0)=dgf(0)=-\infty$ .
On a $dgf\left(R\right)\leq dgg\left(R\right)$ avec égalité si R est noethérien à gauche.
Si R est noethérien, on a $dgf(R)=dgg(R)=dgd(R)=dg(R)$ .
Soit $A$ un anneau commutatif ; alors $dg(A\left[X\right])=dg(A)+1$ (théorème des syzygies de Hilbert). Par conséquent, si $K$ est un corps commutatif (ou, plus généralement, un anneau commutatif semi-simple), $dg(K\left[X_{1},...,X_{n}\right])=n$ .
Soit R un anneau commutatif, $S\subset R$ un ensemble multiplicatif ne contenant pas de diviseurs de zéro et $T$ le localisé $S^{-1}R$ . On a $dg(T)\leq dg(R)$ et $dgf(T)\leq dgf(R)$ .
Un anneau d'Ore R est un anneau de Dedekind qui n'est pas un corps si, et seulement si $dg(R)=1.$
Un anneau commutatif intègre R est un anneau de Prüfer (en) si, et seulement si $dgf(R)\leq 1$ .
Un anneau de Bézout commutatif R qui n'est pas principal est un anneau de Prüfer, et vérifie donc $dgf(R)\leq 1$ . En revanche, il n'est pas noethérien, donc n'est pas un anneau de Dedekind, et par suite $dg(R)>1$ .

- Les Anneaux réguliers

Un anneau R est dit régulier à gauche si tout R-module à gauche de type fini admet une résolution finie. On définit de même un anneau régulier à droite, et un anneau est dit régulier s'il est régulier à gauche et à droite.
Si $dgg(R)<+\infty$ , R est évidemment régulier à gauche, mais Nagata a donné en 1962 l'exemple d'un anneau commutatif régulier noethérien de dimension globale infinie.
Si R est un anneau commutatif régulier, alors tout localisé $T=S^{-1}R$ de R est régulier. Si R est régulier et noethérien, alors il en va de même de $R\left[X_{1},...,X_{n}\right]$ .
Soit R un anneau de Bézout à gauche. Tout R-module à gauche de type fini est de présentation finie donc R est régulier à gauche.

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