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On peut définir la fonction psi au coeur des digammas fonctions par la relation suivante :

\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.

- Introduction

Considérant la fonction gamma comme une généralisation formelle de la factorielle (plus précisément, $\Gamma (x)=1\times 2\times \dots \times (x-1)$ ), on en déduit tout aussi formellement, en utilisant les propriétés de la dérivée logarithmique, qu'on devrait avoir

\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=1+1/2+1/3+\dots +1/(z-1)=H_{z-1}

,

où $H n$ est le $n$ -ième nombre harmonique.

La fonction digamma pourrait ainsi définir une généralisation des nombres harmoniques aux complexes. Une formule exacte pour $ψ (n)$ , confirmant presque le calcul précédent, sera obtenue plus bas rigoureusement pour n entier.

- Les Propriétés

La fonction digamma est une fonction méromorphe définie sur tout le plan complexe privé des entiers négatifs.

La définition de la fonction gamma sous forme intégrale ( $\Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t$ ) montre que pour tout nombre complexe $z$ de partie réelle strictement positive, $\psi (z)={\frac {\int _{0}^{\infty }y^{z-1}\ln y\ {\rm {e}}^{-y}~{\rm {d}}y}{\int _{0}^{\infty }y^{z-1}{\rm {e}}^{-y}~{\rm {d}}y}}$ .

Ainsi,

\psi (1)=\int _{0}^{\infty }\ln y\ {\rm {e}}^{-y}~{\rm {d}}y=-\gamma

, où

γ = 0,577\dots

est la constante d'Euler-Mascheroni.

Par ailleurs, $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ donc on a (en dérivant) la relation de « récurrence »

\psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}

;

en fait, le théorème de Bohr-Mollerup montre que la fonction digamma est la seule solution de l'équation fonctionnelle

F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}

qui est monotone sur $R +$ et qui vérifie $F (1) = - γ$ .

On en déduit que la fonction digamma d'un entier n > 0, souvent notée aussi $ψ 0 (n)$ ou même $ψ (0) (n)$ , est reliée aux nombres harmoniques par

{\frac {\int _{0}^{\infty }y^{n-1}\ln y\ {\rm {e}}^{-y}~{\rm {d}}y}{(n-1)!}}=\psi (n)=H_{n-1}-\gamma

où $H_{n-1}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n-1}}$ est le (n – 1)-ième nombre harmonique.

La fonction digamma satisfait également une formule de réflexion (en) similaire à celle de la fonction Gamma : pour tout nombre complexe $z$ dont la partie réelle est strictement comprise entre 0 et 1,

\psi (1-z)-\psi (z)=\pi \,\!\cot {\left(\pi z\right)}

.

D'autres représentations par des intégrales existent. Ainsi, si la partie réelle de $z$ est positive, on a :

\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {{\rm {e}}^{-t}}{t}}-{\frac {{\rm {e}}^{-zt}}{1-{\rm {e}}^{-t}}}\right)\,{\rm {d}}t

,

qu'on peut aussi écrire

\psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}~{\rm {d}}x

.

- Représentation par séries

La relation de récurrence permet d'obtenir la formule suivante :

\psi (z)=-\gamma +\sum _{{j=0}}^{{+\infty }}\left({\frac 1{j+1}}-{\frac 1{j+z}}\right)=-\gamma -{\frac 1z}+z\sum _{{k=1}}^{{+\infty }}{\frac 1{k(k+z)}}.

La fonction digamma possède également une représentation en série zêta rationnelle :

\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}

(où

ζ (n)

est la fonction zêta de Riemann),

qui converge pour $| z | < 1$ . Cette série se déduit aisément de la série de Taylor (en 1) de la fonction zêta de Hurwitz.

On déduit de la formule intégrale d'Euler le développement suivant en série de Newton (convergeant pour $Re(s) > -1$ ) :

\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}

où $\textstyle {s \choose k}$ est un coefficient binomial (généralisé) : ${s \choose k}={\frac {s(s-1)(s-2)\cdots (s-k+1)}{k!}}$ .

- Utilisation pour le calcul des sommes séries

La formule précédente, équivalente à

\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z)}}\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots

permet d'évaluer des séries de fractions rationnelles de la forme

\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}}

,

où p(n) et q(n) sont des polynômes en n : décomposant $u n$ en éléments simples (lorsque les racines de q sont toutes simples), on obtient

u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}

; la série converge si

\lim _{n\to \infty }nu_{n}=0

, et donc si

\sum _{k=1}^{m}a_{k}=0

.

Dans ce cas,

{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left(\psi (b_{k})+\gamma \right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}

En particulier, on obtient

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)(n+b)}}={\frac {\psi (b)-\psi (a)}{b-a}}

,

expression qui, d'après un théorème de Gauss ( voir infra ), peut être explicitée si $a$ et $b$ sont rationnels ; par exemple,

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)(3n+1)}}=\psi (1/3)-\psi (1/4)=3\ln(2/{\sqrt {3}})+\pi /2-\pi {\sqrt {3}}/6

.

Enfin, dans le cas où q admet des racines multiples, un passage à la limite fait apparaître les dérivées de la fonction digamma ; ainsi,

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{2}}}=\psi '(a)=\psi _{1}(a)

,

où $ψ 1$ est la fonction polygamma d'ordre 1.

- Des Valeurs spéciales

La fonction digamma a des valeurs exprimables à l'aide des fonctions usuelles et de la constante d'Euler-Mascheroni pour des arguments rationnels, par exemple :

\psi (1)=-\gamma

\psi (2)=H_{1}-\gamma =1-\gamma

\psi (3)=H_{2}-\gamma ={\frac 32}-\gamma

\psi (4)=H_{3}-\gamma ={\frac {11}6}-\gamma

\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)=-2\ln 2-\gamma \,={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }y^{-1/2}\ln y\ {\rm {e}}^{-y}~{\rm {d}}y

\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3-\gamma

,

\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2-\gamma

, etc.

De plus, la représentation par une série permet aisément de montrer qu'à l'unité imaginaire, on a

{\begin{aligned}{\rm {Re}}\left(\psi ({\rm {i}})\right)&=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}},\\{\rm {Im}}\left(\psi ({\rm {i}})\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\pi }{2}}\coth \pi ,\end{aligned}}

où $coth$ est la fonction cotangente hyperbolique.

- Théorème de Gauss

Plus généralement, pour des entiers $p$ et $q$ tels que $0 < p < q$ , la fonction digamma s'exprime à l'aide de la constante d'Euler et d'un nombre fini de fonctions élémentaires :

\psi \left({\frac {p}{q}}\right)=-\gamma -\ln(2q)-{\frac {\pi }{2}}\cot {\frac {p\pi }{q}}+2\sum _{n=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos {\frac {2\pi np}{q}}\ln \left(\sin {\frac {\pi n}{q}}\right)

;

la relation de récurrence permet d'en déduire sa valeur pour tous les arguments rationnels.

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