LA BASE ÉQUATIONNELLE DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME

La connaissance de l'électromagnétisme progressait à grands pas, mais il lui manquait une idée unificatrice afin d'asseoir des postulats généraux. Certes les succès de la mécanique de Newton et de la gravitation universelle orientaient les recherches du côté de la notion de force. Or il allait s'avérer que la théorie de l'électromagnétisme ne pouvait se fonder sur les forces, mais bien plutôt sur les « champs ». Ce concept nouveau fut introduit par Faraday (1840) et utilisé par Maxwell pour poser les véritables fondements de l'électromagnétisme (1873).

Imaginons qu'une charge électrique q0 soit placée, immobile, en un point M, et qu'elle y soit soumise, de la part d'autres charges environnantes – elles aussi immobiles – à une force F0. Celle-ci – la loi de Coulomb l'affirme clairement – est proportionnelle à q0 (elle doublerait si q0 devenait 2 q0). Faisons l'effort d'abstraction qui consiste à décomposer, en quelque sorte, cette situation simple : si l'on retire la charge d'« essai » q0, il subsiste au point M un « champ » E ; ce sont les autres charges, maintenues, qui modifient par leur présence l'espace d'alentour, créant en M le champ E. Ce dernier se manifeste – c'est pour l'instant la seule façon – si l'on dépose à nouveau une charge d'essai q (quelconque) en M : la force F qu'elle y ressent provient du champ E multiplié par q, cette fois ; F = qE.

On conçoit que le champ E' qui règne en un point M' distinct de M diffère de E. À l'ensemble – que l'on nomme encore « le champ » – est associée une fonction de point à valeurs vectorielles E (x, y, z). Malgré le caractère purement statique de l'exemple, on admettra que, dans des situations plus générales, le champ électrique pourra aussi varier au cours du temps : E (x, y, z ; t).

 Il s'agit d'une théorie classique, car elle se fonde sur des champs continus, par opposition à la théorie quantique. En revanche, il ne s'agit pas d'une théorie non relativiste : en effet, bien que proposées antérieurement à la théorie de la relativité restreinte, les équations de Maxwell, qui sont à la base de la théorie classique, sont invariantes par transformations de Lorentz.

Le concept fondamental de la théorie est la notion de champ électromagnétique, entité qui englobe le champ électrique et le champ magnétique, qui se réduit dans certains cas particuliers :

1. Les charges sont immobiles : on est alors en électrostatique, avec des champs électriques statiques.
2. La densité de charge est nulle et les courants sont constants dans le temps : on est en magnétostatique, avec un champ magnétique statique.
3. Lorsque les courants sont relativement faibles, sont variables et se déplacent dans des conducteurs isolés, — des fils électriques —, les champs magnétiques produits sont très localisés, dans des éléments dits bobines d'auto-inductance, self, transformateurs ou générateurs, avec les densités de charge électrique non nulles dans des condensateurs ou batteries génératrices de courants : on est alors en électrocinétique ; on y distingue les courants faibles et les courants forts. Il n'y a pas de champ à l'extérieur du circuit (ou de façon résiduelle « un peu » selon la conception). On étudie des circuits électriques, et l'on y distingue les basses fréquences et les hautes fréquences. L'électronique a fait des progrès énormes à partir du développement des semi-conducteurs, qui sont maintenant utilisés pour faire des circuits intégrés de plus en plus miniaturisés, et comportant des puces électroniques ou microprocesseurs.
4. Les hautes fréquences, atteintes par les circuits résonnants électriques, ont permis, à l'aide d'antennes, de créer des ondes électromagnétiques, éliminant ainsi les fils de connexion. L'émission, la propagation et la réception de ces ondes, qui sont régies par les équations de Maxwell, constituent l'électromagnétisme.

L'interaction électromagnétique, présentée en termes fondamentaux de la physique théorique, s'appelle l'électrodynamique ; si on tient compte de l'aspect quantique, c'est l'électrodynamique quantique relativiste.

Ce formalisme est semblable à celui de la mécanique quantique : la résolution de l'équation de Schrödinger, ou de sa version relativiste (l'équation de Dirac), donne la probabilité de présence de l'électron, et la solution de l'équation de Maxwell, longtemps interprétée comme une onde, est à la base une équation de probabilité pour le photon, qui n'a ni charge ni masse, et qui ne se déplace qu'à la vitesse de la lumière dans le vide .

LA BASE ÉQUATIONNELLE DE ÉLECTROMAGNÉTISME

 L'électromagnétisme se fonde sur une théorie de l'électrodynamique pour décrire le couplage entre le champ électromagnétique et le système mécanique que sont les charges électriques. L'électrodynamique classique utilise, par exemple, un faible nombre d'équations fondamentales :

• Les équations de Maxwell déterminent le champ électromagnétique, à partir des sources que sont les charges et les courants. Ces équations doivent idéalement être écrites sous une forme covariante, en utilisant le formalisme quadridimensionnel de la relativité restreinte, en termes de quadrivecteur densité de courant et du tenseur de champ électromagnétique. Dans ce cas elles se mettent sous la forme de deux équations quadridimensionnelles, l'une ne faisant pas intervenir les charges et les courants et décrivant ainsi la structure du champ électromagnétique, et l'autre décrivant le couplage entre champ électromagnétique et les charges et courants.

  Dans le formalisme tridimensionnel utilisé le plus souvent, ces deux équations quadridimensionnelles se décomposent en deux paires d'équations, une de structure et une de couplage aux sources, ce qui donne les quatre équations de Maxwell « ordinaires » :

  ${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}={\vec {0}}\quad \mathrm {({\acute {E}}quation} {\text{ de Maxwell-Faraday);}}\\\operatorname {div} {\vec {B}}=0\quad {\text{(Inexistence des charges magn}}\mathrm {\acute {e}} {\text{tiques, parfois appel}}\mathrm {\acute {e}} {\text{e }}\mathrm {\acute {e}} {\text{quation de Maxwell-Thomson);}}\\\displaystyle \operatorname {div} {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\quad \mathrm {({\acute {E}}} {\text{quation de Maxwell-Gauss);}}\\\displaystyle {\vec {\operatorname {rot} }}\left({\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\right)={\vec {\jmath }}+\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\quad \mathrm {({\acute {E}}} {\text{quation de Maxwell-Amp}}\mathrm {\grave {e}} {\text{re).}}\end{cases}}}$

  Ces équations ont un caractère local, c'est-à-dire qu'elles lient les variations des champs ${\displaystyle {\vec {E}}}$ et ${\displaystyle {\vec {B}}}$ en un point et à un instant donnés à leurs dérivées partielles et/ou à celle des champs décrivant les sources. Il est possible de mettre ces équations sous forme intégrale, à l'interprétation physique plus aisée (voir plus bas).

• Le champ exerce quant à lui sur la matière une action mécanique, la force de Lorentz, qui est la description classique de l'interaction électromagnétique :
• Pour une charge ponctuelle q, se déplaçant à la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ par rapport à un référentiel galiléen, la force de Lorentz s'écrit ${\displaystyle {\vec {F}}=q\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}\right)}$. Ainsi, la force de Lorentz est constituée de deux termes, un indépendant de la vitesse, ${\displaystyle {\vec {F}}_{e}=q\,{\vec {E}}}$, la force dite électrique, et l'autre qui est lié au déplacement de la charge dans le référentiel d'étude, la force dite magnétique ${\displaystyle {\vec {F}}_{m}=q{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}}$. Cette dernière force est de travail nul puisque ${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {F}}_{m}=0}$ à tout instant.
• Pour une distribution de charges et de courants, contenue dans un certain domaine de l'espace, la force de Lorentz élémentaire exercée sur le volume infinitésimal de l'espace ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}V}$ contenant la charge ${\displaystyle \mathrm {d} q=\rho ({\vec {r}},t)\,\mathrm {d} V}$ située au point ${\displaystyle {\vec {r}}}$ à l'instant t s'écrit sous la forme ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {F}}({\vec {r}},t)=\mathrm {d} q\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\wedge {\vec {B}}\right)=\left(\rho {\vec {E}}+(\rho {\vec {v}})\wedge {\vec {B}}\right)\mathrm {d} V={\vec {f}}\,\mathrm {d} V}$, avec ${\displaystyle {\vec {f}}=\rho \,{\vec {E}}+{\vec {\jmath }}\wedge {\vec {B}}}$ densité volumique de force de Lorentz.

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