Quadrivecteurs courants en Mécanique quantique | mécanique quantique non-relativiste

En mécanique quantique non-relativiste, on dispose d’une densité de probabilité ρ(~x, t) = |φ(~x, t)| 2 . On peut alors rechercher, par analogie avec l’hydrodynamique (où ~(~x, t) = ρ(~x, t)~v(~x, t)), un courant ~(~x, t) qui vérifie les deux propriétés suivantes : h~v(t)i = Z R3 ~(~x, t)d3 ~x (1) ∂ρ ∂t + ∇ · ~ ~ = 0 (2) 1. Pour l’équation de Schrödinger dφ dt = 1 i ~ Hφ H = −~ 2 ∆ 2m + V (~x) (3) montrer qu’une solution naturelle de (1) est donnée par ~ = ~ im φ ∗ ~ grad (φ) (4) 2. En utilisant une intégration par partie, trouver une autre solution de (1), telle que ~ soit réel. 3. Vérifier alors que (2) est satisfaite. 4. En déduire que d dt Z R3 ρ(~x, t)d3 ~x = 0 (5) Remarque : On peut aussi vérifier que l’équation de Schrödinger est l’équation du mouvement associée au Lagrangien L(t) = Z R3 ψ ∗ (~x, t)  i~ ∂ ∂t + ~ 2 ∆ 2m − V (~x)  ψ(~x, t)d3 ~x (6) La loi de conservation (2) peut alors être obtenue en appliquant le Théorème de Noether, ayant remarqué que L est invariant par la transformation φ → e iαφ

 Particules relativistes de spin zero : Équation de Klein-Gordon

L’équation de Klein-Gordon remplace la relation de dispersion newtonnienne E = p 2 2m (qui sous-tend l’équation (3)) par l’équation relativiste E2 = p 2 c 2 + m2 c 4 . En l’absence de potentiel on obtient  + m2 c 2 ~ 2  φ(~x, t) = 0. (8) Cette équation est explicitement invariante par changement de référentiel inertiel si l’on suppose que φ est un invariant relativiste (un scalaire de Lorentz). On va montrer que dans ce cadre, il est possible, au prix d’une re-définition de ρ, de ré-écrire (2) sous la forme ∂µj µ = 0 (9) où j µ = (ρ c, ~) est un 4-vecteur contravariant (10) 1. En mécanique quantique non-relativiste, la définition de ρ(~x, t) = |φ(~x, t)| 2 était intimement liée à la définition du produit hermitien hφ|ψi = R φ ∗ψd 3~x. Serait-il cohérent de conserver cette définition du produit scalaire dans le cadre de l’équation de Klein-Gordon ? En déduire que ρ ne saurait être défini par ρ(~x, t) = |φ(~x, t)| 2 . 2. En s’inspirant du courant ~ de la première partie, écrire un quadrivecteur contravariant j µ = (ρ, ~) tel que ~ = ~ 2im  φ ∗ −−−−−→ grad(φ) − −−−−−→ grad(φ ∗ ) φ  . 3. Vérifier que (9) est satisfaite. Au vu de la relation entre densité de probabilité et produit hermitien, il est naturel de considérer le produit hermitien hφ|ψi = i~ 2m Z R3  φ ∗ ∂ψ ∂t − ∂φ∗ ∂t ψ  . (11) 4. Montrer qu’un tel choix de produit hermitien est raisonnable dans la mesure où si φ(~x, t) et ψ(~x, t) sont solutions de l’équation de Klein-Gordon, alors leur produit hermitien est indépendant du temps. Dans la limite non-relativiste, la relation de dispersion devient E = mc2 + p 2 2m , ce qui diffère de la relation de dispersion non-relativiste par E E + mc2 . Dans la substitution canonique E → i~ ∂ ∂t que nous utilisons, on s’attend à ce que E E+mc2 corresponde à ψ e −i mc2 ~ tψ. 5. Montrer qu’au premier ordre non-trivial dans la limite non-relativiste, si φ est ψ sont reliés par φ(~x, t) = e −i mc2 ~ tψ(~x, t), (12) alors φ(~x, t) est solution de l’équation de Klein-Gordon si et seulement si ψ(~x, t) est solution de l’équation de Schrödinger. 6. Dans la limite non-relativiste, retrouver la densité de probabilité de la mécanique quantique non-relativiste comme limite du ρ que vous venez de définir dans le cadre de l’équation de Klein Gordon. 

Particules de spin 1/2 : Équation de Dirac

 Pour surmonter les difficultés physiques d’interprétation de l’équation Klein-Gordon, on rappelle que Dirac introduisit une équation d’ordre 1, mais avec un fonction d’onde vectorielle dont les quatres composantes satisfont toutes l’équation (8). L’équation de Dirac s’écrit − ∂Ψ ∂t = c ~α · ~ grad(Ψ) + i mc2 ~ βΨ (14) ou de manière équivalente −i∂/Ψ + mc h¯ Ψ = 0, où a/ ≡ aµγ µ , avec γ µ ≡ (β, β~α) où ~α =  0 ~σ ~σ 0  est un ensemble de 3 matrices de taille 4 × 4, et β =  1 0 0 −1  et une matrice de taille 4 × 4. On cherche à définir, comme précédemment, un courant de probabilité dans le cadre de l’équation de Dirac. 1. L’équation de Dirac étant une équation différentielle d’ordre un sur des fonctions d’onde Ψ(~x, t) à plusieurs composante (quand ~x et t sont fixés, Ψ(~x, t) est un vecteur à quatre composantes), écrire de la façon la plus simple possible la normalisation d’une fonction d’onde et le produit hermitien hΨ1|Ψ2i entre deux états. 2. En déduire une expression naturelle pour la densité de probabilité ρ. Cette densité est-elle réelle ? est-elle positive ? 3. Pour une fonction d’onde solution de l’équation de Dirac, calculer dρ dt et en déduire ~ tel que (2) soit satisfaite. On souhaite désormais montrer que j µ = (ρ c, ~) est un quadrivecteur contravariant. Sous les transformations de Lorentz, Ψ(~x, t) se transforme 1 selon Ψ 0 (~x0 , t0 ) = S(Λ)Ψ(~x, t) (15) où S(Λ) est une matrice de taille 4 × 4 qui dépend de la transformation de Lorentz considérée (mais pas de x µ ).

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