La Cohomologie de faisceaux via la méthode de Čech | The Čech cohomology of sheaves

Avant-propos (Résumé)

Nous présentons ici la cohomologie de Čech pour les faisceaux. L'objectif est d'exposer la construction fondamentale de Čech dans divers contextes : la définition d'objets cohomologiques globaux à partir du recollement d'objets définis sur les intersections des ouverts d'un recouvrement d'un espace. Nous débutons en motivant la construction de Čech avec l'exemple simple des complexes. Ensuite, nous utilisons la cohomologie de Čech des faisceaux pour fournir une démonstration particulièrement élégante du théorème de De Rham, qui établit l'isomorphisme entre la cohomologie de De Rham et celle de Čech à coefficients dans R pour une variété différentiable. Enfin, nous appliquons ces méthodes à l'étude des fibrés en droites (complexes) et définissons notamment leur première classe de Chern. Sur cette dernière, nous démontrons une sorte de formule de Gauß-Bonnet. Plusieurs théorèmes d'algèbre homologique concernant la cohomologie de Čech seront admis sans démonstration, car ils peuvent être prouvés à l'aide des techniques précédemment exposées dans le groupe de travail. Une grande partie de cet exposé est tirée des chapitres 0 et 1 de [GH].

Abstract

This paper presents an exploration of the Čech cohomology of sheaves, focusing on the fundamental construction of Čech cohomology in various scenarios. The objective is to define global cohomological objects through the gluing of objects defined on the intersections of open sets in a covering of a space. The discussion begins with the basic case of complexes to motivate Čech's construction. Following this, the Čech cohomology of sheaves is utilized to provide an elegant proof of the De Rham theorem, which establishes an isomorphism between De Rham cohomology and Čech cohomology with coefficients in R for differentiable manifolds. The methods are then applied to the study of complex line bundles, including the definition of their first Chern class and a demonstration of a Gauss-Bonnet type formula for this class. Several theorems from homological algebra concerning Čech cohomology are acknowledged without proof, as they can be derived using previously discussed techniques. A significant portion of this exposition is drawn from chapters 0 and 1 of [GH].

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 (PDF) La Cohomologie de faisceaux via la méthode de Čech (researchgate.net)