Topologie des variétés, Théorie des flots, Opérateurs de Laplace et Homéomorphismes des sphères complexes

 Dans ce travail, nous débutons par des définitions et propriétés fondamentales des champs de vecteurs sur une variété différentiable. Nous explorons leurs relations avec les groupes à un paramètre de difféomorphismes, appelés flots, ainsi qu'avec les opérateurs différentiels. Nous démontrons qu'un champ de vecteurs différentiable à support compact génère un unique groupe à un paramètre de difféomorphismes sur cette variété, et construisons le flot correspondant sur l'ensemble de la variété.

Nous détaillons ensuite la notion de commutativité des champs de vecteurs, en fournissant des calculs explicites pour une condition nécessaire et suffisante permettant de vérifier cette commutativité.

Par la suite, nous présentons un résultat clé en topologie différentielle : nous prouvons que si une variété différentiable de dimension m est compacte, connexe, et munie de m champs de vecteurs différentiables qui commutent deux à deux et sont linéairement indépendants en chaque point, alors cette variété est difféomorphe à un tore réel de dimension m.